Capítulo 2  Algebra lineal

• LOGRO: Repasa definiciones y teoremas claves para este curso de álgebra lineal

2.1  lp_solve y repaso de Algebra Lineal

• INDICADOR: Emplea lp_solve para resolver problemas de programación lineal
• INDICADOR: Demuestra propieades de espacios vectoriales y matrices

2.1.1  Teoría

lp_solve

Repaso de algebra lineal

• A+B=B+A conmutatividad de suma
• (A+B)+C=A+(B+C) asociatividad de suma
• A+0=0+A=A identidiad para suma
• r(A+B)=rA+rB distributividad izquierda de producto por escalar
• (r+s)A=rA+sA distributividad derecha
• (rs)A=r(sA) asociatividad de producto por escalar
• A(BC)=(AB)C asociatividad de producto
• IA=A y BI=B identidad para producto
• A(B+C)=AB+AC distributividad izquierda
• (A+B)C=AC+BC distributividad derecha

2.1.2  Lecturas recomendadas

2.1.3  Ejercicios

1. Usando lp_solve resuelva el ejercicio de la aleación, i.e primer ejercicio de la guía 1.
   
   
2. Usando lp_solve resuelva el ejercicio de la ubicación de una nueva máquina, i.e cuarto ejercicio de la guía 1.
   
   
3. Usando lp_solve resuelva el ejercicio de la refineria de petroleo, i.e segundo ejercicio de la guía 3.
   
   
4. Usando lp_solve resuelva el ejercicio de producción, i.e sexto ejercicio de la guía 5.
   
   
5. (Inspirado en [8]) El espacio {0,1}ⁿ consta de todas las posibles n-tuplas de ceros y unos. En este espacio se define la distancia de Hamming entre dos n-tuplas como la cantidad de posiciones en las que difieren. Por ejemplo en {0,1}⁴ la distancia entre (0,0,1,1) y (1,0,0,1) es 2.
   • En {0,1}⁴ verifique que las 4-tuplas cuya distancia a (1,0,0,1) es mayor que 2 son de la forma (b₁,b₂,b₃,b₄) con
     −b₁+b₂+b₃−b₄≥ 1
   • lp_solve también puede resolver problemas de programación lineal entera, declarando variables enteras, (por ejemplo int x;). Use lp_solve para hayar una 4-tupla de {0,1}⁴ con el mínimo posible de unos y que esté a distancia de Hamming mayor o igual a 1 de cada uno de los siguientes puntos: (0,0,0,0), (1,1,1,1), (1,0,0,1), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (1,0,0,0).
   
   
   
6. (De [5]) Demuestre cada propiedad aritmética de las operaciones matriciales (ver guía).
   
   
7. (Ejercicio 1.3.39 de [5]) Demuestre que toda matriz simétrica debe ser cuadrada.
   
   
8. (Ejercicio 1.3.40 de [5]) Demuestre que la matriz identidad I de n× n debe ser simétrica.
   
   
9. (Ejercicio 1.3.42 de [5]) Demuestre que si A es matriz cuadrada (A²)^T=(A^T)² y (A³)^T=(A^T)³
   
   
10. (Ejercicio 1.4.12 de [5]) Halle la única solución del sistema lineal siguiente por el método de Gauss-Jordan:

    x1−4x2+x3	=	8
    3x1−12x2+5x3	=	26
    2x1−9x2−x3	=	14

    
    
    
11. (Ejercicio 1.4.23 de [5]) Se A matriz de 4× 4, hallar una matriz C tal que CA sea lo mismo que: multiplicar la fila 1 por la 5; intercambiar las filas 2 y 3, sumar la fila 3 multiplicada por 2 a la fila 4.
    
    
12. (Ejercicio 1.5.15 de [5]) Demostrar que si A es una matriz invertible de n× n, entonces A⁻¹ es invertible. Describir (A⁻¹)⁻¹.
    
    
13. (Ejercicio 1.5.17 de [5]) Una matriz A de n× n es nilpotente si A^r=0, la matriz cero de n× n, para algún entero r. Demostrar que si A es matriz invertible entonces no es nilpontente.
    
    
14. (Ejercicio 1.6.17 de [5]) Describir todas las soluciones del siguiente sistema lineal:

    x1−3x2+2x3−x4	=	8
    3x1−7x2+x4	=	0

    
    
    
15. (Ejercicio 3.1.22 de [5]) Hallar un vector distinto de cero perpendicular a (−1,3,4) y (2,1,−1).
    
    
16. (Ejercicio 3.1.24 de [5]) Demostrar que (2,0,4), (4,1,−1) y (6,7,7) son vértices de un triángulo rectángulo en R³.
    
    
17. (Ejercicios 3.2.7, 3.2.10 y 3.2.11 de [5]) Para cada uno de los siguientes conjuntos indique si es espacio vectorial o no. Si no lo es, indique que propiedad no cumple.
    • R² con suma usual pero con el producto r(x,y)=(ry,rx)
    • C números complejos C={(a+b√−1) | a,b∈ R} con suma usual y multiplicacion por escalar dada por

      r(a+b√

      −1

      )=(ra+rb√

      −1

      )

    • F conjunto de funciones que transformar R en R con multiplicación por escalar dada para rf como la función (rf)(x)=r(f(x)) y suma entre f y g dada por la función (f+g)(x)=max{ f(x),g(x)}.
    
    
    
18. (Ejercicio 3.2.18 de [5]) Prueba cada una de las siguientes propiedades del producto punto:
    • vw=wv
    • u(v+w)=uv+uw
    • ru(v)=(ru)v=u(rw) homogeneidad
    
    
    
19. Probar las siguientes propiedades de la magnitud:
    • ||v||²=vv
    • ||rv||²=|r| ||v||
    
    
    
20. (Ejercicio 3.2.23 de [5]) Dados v,w∈ Rⁿ, v−w y v+w son perpendiculares si y solo si ||v||=||w||
    
    
21. (Ejercicio 3.2.25 de [5]) Usar la desigualdad triangular para probar que ||v−w||≥ ||v|| + ||w|| para vectores cualesquiera v,w∈ Rⁿ.
    
    
22. (Ejercicio 3.2.26 de [5]) Demostrar que para vectores cualesquiera v,w∈ Rⁿ tenemos ||v−w||≥||v||−||w||
    
    
23. (Ejercicio 3.4.17 de [5]) Sea F el espacio vectorial de las funciones que transforman R en R. Demostrar que gn(sin²(x),cos²(x)) continen la función cos(2x).
    
    
24. (Ejercicio 3.5.19 de [5]) Si el conjunto de vectores de {1,sin²(x),cos(2x),cos²(x)} de F es linealmente dependiente, encuentre uno linealmente independiente que genere el mismo subespacio.
    
    
25. (Ejercicio 3.6.15 de [5]) Demostrar que el rango fila de una matriz no se afecta por las tres operaciones elementales en filas.
    
    
26. (Ejercicio 3.6.22 de [5]) Si A es vector de n× 1 y B es un vector de 1× m, demostrar que AB es una matriz de n× m de rango uno.